Brunner-Munzel検定

 Brunner-Munzel検定（以下，BM検定）は，WMW検定と同じく，特定の確率分布を仮定しないノンパラメトリックな方法です．

WMW検定では，母集団が従う確率分布がどんな分布でも問題はなく，2つの分布の形は同じであるという前提条件がありました（帰無仮説H0が正しいときには，分布は一致するので，分散も等しくなる）．一方，BM検定は，2つの確率分布の形状が同じでなくても問題ありません．

Rのデフォルト関数にはBM検定がないので，パッケージをインストールする必要があります．BM検定を行うパッケージには以下の3つ（rankFD，lawstat，brunnermunzel）があります．

> install.packages("rankFD")

> install.packages("lawstat")

> install.packages("brunnermunzel")

以下では，brunnermunzelを使って検定を行ってみます．まずは，パッケージをロードします．

> library(brunnermunzel)

関数はbrunnermunzel.testとなります．コマンドは brunnermunzel.test(A ~ B) となります．

> brunnermunzel.test(choles ~ suppl)

Brunner-Munzel Test

data:  choles by suppl

Brunner-Munzel Test Statistic = 2.9318, df = 5.2973, p-value = 0.03039

95 percent confidence interval:

 0.552361 1.207639

sample estimates:

P(X<Y)+.5*P(X=Y) 

            0.88 

結果を見るとP値が0.03039で，有意水準αの0.05（5%）より小さいので，統計的に有意だと結論づけることができます．結論としては「サプリメントAの飲用者とBの飲用者の間にはコレステロール値に統計的に有意な差が認められた（P=0.030）」，「サプリメントAの飲用者のコレステロール値は，Bの飲用者よりも低かった（P=0.030）」などとすることができます．

続けて，並べ替えBM検定を行ってみます．関数はbrunnermunzel.permutation.testで，コマンドはbrunnermunzel.permutation.test(A ~ B) となります．

> brunnermunzel.permutation.test(choles ~ suppl)

permuted Brunner-Munzel Test

data:  choles by suppl

p-value = 0.05556

sample estimates:

P(X<Y)+.5*P(X=Y) 

            0.88 

結果を見ると，P値が0.05556で，有意水準αの0.05（5%）より大きいので，統計的に有意ではないと結論づけることができます．結論としては「サプリメントAの飲用者とBの飲用者の間にはコレステロール値に統計的に有意な差は認められなかった（P=0.056）」などとすることができます．

Jupyter Notebookファイルはこちら（GitHub）

Wilcoxon-Mann-Whitney (WMW) 検定

 WMW検定は，Mann-WhitneyのU検定とWilcoxonの順位和検定の総称です．正規分布を仮定しないWMW検定は，どんな確率分布にも対応しますが，比較する2つの母集団が同じ形状の確率分布に従うという過程があります．

RでWMW検定を行うには"exactRankTests"パッケージのインストールが必要です．パッケージのインストールは，Rを立ち上げて，以下のコマンドを実行します（ミラーの選択を求められるので，近い場所〜例えばJapan〜を選んでダウンロードします）．

> install.packages("exactRankTests")

ダウンロードが済んだら，以下のコマンドを実行してライブラリをロードします．

> library(exactRankTests)

前回までと同様にデータの読み込みが完了している前提で検定を行います．WMW検定を行うコマンドは，

> wilcox.exact(A ~ B)

となります．

実行してみます．

> wilcox.exact(choles ~ suppl)

すると，以下のような返答が返ってきます．

Exact Wilcoxon rank sum test

data:  choles by suppl

W = 3, p-value = 0.05556

alternative hypothesis: true mu is not equal to 0

P値は0.05556で，有意水準のαの0.05（5%）より大きいので，統計的に有意な差は認められないので「サプリメントAの飲用者とBの飲用者の間にはコレステロール値に統計的な有意な差は認められなかった（P=0.056）」と結論づけられます．

"exactRankTests"パッケージを使わない場合は，Rに標準装備されている wolcox.testを使うこともできます．

> wilcox.test(choles ~ suppl)

Wilcoxon rank sum exact test

data:  choles by suppl

W = 3, p-value = 0.05556

alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Jupyter Notebookファイルはこちら（GitHub）

Welchのt検定

Weltchのt検定は，独立2群のt検定が拡張された手法です．Weltchのt検定では等分散を仮定せず，比較する母集団の母分散σ^2（もしくは，母標準偏差σ）が等くても（σA=σB），等くなくても（σA≠σB）どちらの状況にも対応します．Weltchのt検定の過程は比較する2つの母集団が正規分布に従うことだけを前提としています．

前回同様に，データ（example_a.csv）を読み込みます．

> ex.a <- read.csv("example.a.csv")

読み込まれたデータがカテゴリカルデータとして認識されているかどうかを確認して，文字型として認識されている場合は，以下のように修正します．

> str(ex.a)

'data.frame': 10 obs. of  2 variables:

 $ choles: int  118 132 120 115 113 129 126 134 135 131

 $ suppl : chr  "A" "A" "A" "A" ...

> ex.a $ suppl <- factor(ex.a $suppl)

> str(ex.a)

'data.frame': 10 obs. of  2 variables:

 $ choles: int  118 132 120 115 113 129 126 134 135 131

 $ suppl : Factor w/ 2 levels "A","B": 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

RでWeltchのt検定を実行するときは以下のコマンドを実行します

> t.test(A ~ B)

この構文は，独立2群のt検定のt検定の構文から引数""var.equal=TRUE"を抜いたものになります（関数 t.test がデフォルトで実行するのはWeltchのt検定ということ）．

実行してみます．

> t.test(choles ~ suppl)

Welch Two Sample t-test

data:  choles by suppl

t = -3.0732, df = 5.8431, p-value = 0.02261

alternative hypothesis: true difference in means between group A and group B is not equal to 0

95 percent confidence interval:

 -20.536084  -2.263916

sample estimates:

mean in group A mean in group B 

          119.6           131.0 

P値が0.02261になっていて，有意水準αの0.05(5%)より小さいので，統計的に有意と結論づけられ，サプリメントAの飲用者とBの飲用者の間には，コレステロールとに統計的に有意な差が認められた（P=0.023）ということができます．

Jupyter Notebookファイルはこちら（GitHub）

独立2群のt検定

Rによる独立2群のt検定

 CSV形式で，以下のようなコレステロールと飲用しているサプリメントの種類に関するデータ（引用しているサプリメントとコレステロールの関係データ）があったとします（これをexample_a.csvというファイル名で保存します）．

choles,suppl

118,A

132,A

120,A

115,A

113,A

129,B

126,B

134,B

135,B

131,B

このデータを用いて，独立2群のt検定を行うには以下のようなコマンドを実行します．

まずは，データのcsvファイル（example_a.csv）を読み込み，"ex.a"という名前をつけます．ターミナルからRを起動して，以下のコマンドを実行します．

> ex.a <- read.csv("example_a.csv")

ex.a にデータが格納されているかを確認しておきます．

> ex.a

   choles suppl

1     118     A

2     132     A

3     120     A

4     115     A

5     113     A

6     129     B

7     126     B

8     134     B

9     135     B

10    131     B

データの構造を確認するための 関数str を使って，データを見てみます．

> str(ex.a)

'data.frame': 10 obs. of  2 variables:

 $ choles: int  118 132 120 115 113 129 126 134 135 131

 $ suppl : chr  "A" "A" "A" "A" ...

ここで，以下の文章はex.aがデータフレーム型であり，2つの変数からなっていて，それぞれ10個の観測値を持つと書かれています．これは正しいのでOKです．

'data.frame': 10 obs. of  2 variables:

続いて，変数に関する情報です．最初の"choles"は，int（整数）型の数値であることを示していて，各値も示されています．続いて，2つ目の変数"suppl"は，chr（文字列）型の変数として読み込まれています．

 $ choles: int  118 132 120 115 113 129 126 134 135 131

 $ suppl : chr  "A" "A" "A" "A" ...

"suppl"がchr（文字列）型のままでは解析ができないので，以下のようにfactor関数を使って，強制的に因子型に読み直すように指示します．

> ex.a $ suppl <- factor(ex.a $ suppl)

再度，確認してみると，int型で認識されていることが確認できます．

> str(ex.a)

'data.frame': 10 obs. of  2 variables:

 $ choles: int  118 132 120 115 113 129 126 134 135 131

 $ suppl : Factor w/ 2 levels "A","B": 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

ここから，t検定に入ります．まずは，関数attachを使ってデータフレーム"ex.a"の中を探索範囲とします．

> attach(ex.a)

独立2郡のt検定を行うには，以下のコマンドを実行します．

> t.test(A ~ B, var.equal=TRUE)

ここで，"A~B"はモデル式です．"var.equal=TRUE"は等分散を仮定してt検定を行うというオプション指定です（TRUEと書かずにTだけでもOKです）．

"choles"を応答変数（response variable），"suppl"を説明変数（explanatory variable）にモデル式（choles ~ suppl）として指定して，"var.equal=T"では，等分散を仮定してt検定を行うという指示を出しています．ここで，"TRUE"ではなく"T"と書いています．

> t.test(choles ~ suppl, var.equal=T)

Two Sample t-test

data:  choles by suppl

t = -3.0732, df = 8, p-value = 0.01527

alternative hypothesis: true difference in means between group A and group B is not equal to 0

95 percent confidence interval:

 -19.954001  -2.845999

sample estimates:

mean in group A mean in group B 

          119.6           131.0 

上記の結果において，

t = -3.0732, df = 8, p-value = 0.01527

においては，検定統計量t，自由度df，P値が示されています．

この結果では，P値が0.01527なので，優位水準αの0.05(5%)より小さいことから，統計的に有意と結論づけることができます．

加えて，以下の結果よりAの標本平均は119.6，Bの標本平均は131.0であることから，サプリメントAの飲用者のコレステロール値は，Bの飲用者のコレステロール値よりも低かった（P=0.015）と結論づけられます．

mean in group A mean in group B 

          119.6           131.0 

95 percent confidence interval:

 -19.954001  -2.845999

は，比較する2つの母集団AとBの母平均の差μA-μBに対する95%信頼区間の下限（下側信頼限界）と上限（上側信頼限界）を示しています．

関数attachを使わない方法としては"$"を使う方法があります．

> t.test(ex.a$choles ~ ex.a$suppl, var.equal=T)

Two Sample t-test

data:  ex.a$choles by ex.a$suppl

t = -3.0732, df = 8, p-value = 0.01527

alternative hypothesis: true difference in means between group A and group B is not equal to 0

95 percent confidence interval:

 -19.954001  -2.845999

sample estimates:

mean in group A mean in group B 

          119.6           131.0 

得られる結果は，当然同じ結果になります．

結果について説明しておくと，tの値は検定統計寮，dfは自由度，p-valueはP値を示しています．

t = -3.0732, df = 8, p-value = 0.01527

この結果では，P値が0.01527と有意水準αの0.05（5%）より小さいので，統計的に有意という結果が得られています．

比較する2つの母集団AとBの，母平均の差 μA-μB に対する95%信頼区間の下限（下限信頼限界）は-19.954001に，上限（上限信頼限界）は-2.845999になります．

95 percent confidence interval:

 -19.954001  -2.845999

また，Aグループの平均は119.6，Bグループの平均は131.0となっています．

mean in group A mean in group B 

          119.6           131.0 

Jupyter Notebookファイルはこちら（GitHub）

Jupyter Notebook でJuliaを使う際の設定メモ

 HomebrewでJuliaをインストールするには，ターミナルから以下のコマンドを実行します．

% brew install --cask julia

Jupyter Notebookはインストールされている前提で，Juliaのパスを通します．

% echo 'export PATH=$PATH:/path/to/install/folder/bin' >> ~/.zshrc

$ exec $SHELL

Juliaを起動して"]"を押すとパッケージモードに変わるので，以下のように"IJulia"パッケージを追加します．

% Julia                                                            

               _

   _       _ _(_)_     |  Documentation: https://docs.julialang.org

  (_)     | (_) (_)    |

   _ _   _| |_  __ _   |  Type "?" for help, "]?" for Pkg help.

  | | | | | | |/ _` |  |

  | | |_| | | | (_| |  |  Version 1.12.6 (2026-04-09)

 _/ |\__'_|_|_|\__'_|  |  Official https://julialang.org release

|__/                   |

(@v1.12) pkg> add IJulia

インストールが済んで，Jupyter Notebookを立ち上げると，Juliaを選択できるようになっているはずです．

一応，ターミナルからJupyterのカーネルを確認すると，以下のようになっているはずです．

% jupyter kernelspec list

Available kernels:

  ir            /Users/***/Library/Jupyter/kernels/ir

  julia-1.12    /Users/***/Library/Jupyter/kernels/julia-1.12

  python3       /opt/anaconda3/share/jupyter/kernels/python3

%