R 二項分布

R のpbinom() 関数を使うと確率質量関数の総和を計算することができます．例えば，下式の計算をしたい場合には

以下のようにします．

> pbinom(0, 100, 0.00720, lower.tail=FALSE)

[1] 0.5145138

引数kよりも大きい値における総和を求めたい場合は，lower.tail を FALSE に設定します．k 以下の値における総和を求めたい場合は，lower.tailをTRUE に設定します（または省略でも可）．

2番目の引数は二項分布におけるパラメータ n

3番目の引数は観察される確率，二項分布におけるパラメータ p

R 二項係数

 R でn個のものの中からk個を選ぶ方法が何通りあるか？すなわち，二項係数を計算するには

> choose(n, k)

のように choose() 関数を使います．

例として，3個から2個を選ぶ組み合わせを求めるには

> choose(3, 2)

[1] 3

となり，3通りであることを求めることができます．

R Stan のインストール

R Stanをインストールした際のメモです．

 Rでrstanパッケージをインストールするために，R環境（R，RStudio，ESSなど）で次のように打ち込む．

install.packages("rstan")

これでインストールは終わり．

あとは，次のようにしてRに読み込む．

library(rstan)

この後で，一般には次のような設定をすることが推奨されています．

rstan_options(auto_write=TRUE)             # コンパイルした結果を保存する
options(mc.cores=parallel::detectCores())  # 複数コアを使う（メモリが十分にある場合）

Amazonで購入したAdobe製品のオンラインコード版の引き換えコードを有効にする際のメモ

   Adobe Creative Cloud フォトプラン（Photoshop + Lightroom）+ Illustratorセットのオンラインコード 版を購入したのですが，コードを有効にすることに手間取ったので，その際のメモです．

注文履歴から「ライブラリに移動する」をクリックして，引き換えコードをメモします（当然，スクリーンショットでも良いですし，そのまま開きっぱなしでもOKです）．

Creative CloudサイトにAdobe IDでログインして， サブスクリプションのコード引き換えページで（メモしておいた）引き換えコードを入力します．

お支払方法の登録は「後で知らせる」をクリックして，次のページで「今すぐ開始」をクリックします．

少し時間が経過すると，IllustratorとPhotoShopがダウンロードできるようになっているはずです．

M1マックにmacOS(Sequoia)をクリーンインストールした際のメモ

 M1マックにmacOS(Sequoia)をクリーンインストールした際のメモです．参考になるAppleの公式ページはこちら．

Apple Silicon 搭載マックでは，以前のように再起動時に "command⌘ + R" を長押しするのではなく，再起動時に電源ボタンを長押しするとディスクユーティリティが起動します．

ユーティリティの一覧が表示されたら「ディスクユーティリティ」を選択して「続ける」をクリックします．

ディスクユーティリティのサイドバーの「内蔵」セクションで「Macintosh HD」という名前のボリュームが表示されていることを確認して，サイドバーで「Macintosh HD」を選択します．

ツールバーの「消去」ボタンをクリックして，名前（Macintosh HD）とフォーマット（APFS）を指定します（ここは設定を変更せずにそのままとしました）．

「消去」をクリックします。「ボリュームグループを消去」が代わりに表示される場合は、このボタンをクリックします．

ハードディスクの内容が消去されたあとは，購入時のOSをインストールすることになるので，それを選択して，終了後に最新のOS（今回は Sequoia ）にアップグレードしました．

OS (Sequoia) のクリーンインストール後にインストールしたアプリケーションは，以下です．

• Adobe Creative Cloud https://x.gd/u5xXk からインストーラーをダウンロード
• App Cleaner https://freemacsoft.net/appcleaner/ からインストーラーをダウンロード
• Evernote https://evernote.com/ja-jp/download からインストーラーをダウンロード
• Google Chrome https://x.gd/KgOIk からインストーラーをダウンロード
• Discord https://discord.com/download からインストーラーをダウンロード
• Homebrew - gnuplot, Julia, Jupyter Notebook, LaTeXiT, Octave, R Studio, TeX Shop. 
• iMovie App Store からインストール
• Keynote App Store からインストール
• LINE https://www.line.me/ja/download からインストーラーをダウンロード
• Messenger https://www.messenger.com/desktop からインストーラーをダウンロード
• mi https://www.mimikaki.net/ からインストーラーをダウンロード
• Microsoft 365
• R CRANからインストーラーをダウンロード
• R Studio RStudioのダウンロードサイトからインストーラーをダウンロード
• Teams
• Visual Studio Code https://code.visualstudio.com/download からインストーラーをダウンロード（Visual Studio Code のExtensionはとりあえず fortran, Gnuplot, Julia, Octave, Pythonの5つにしました．）
• Zoom https://zoom.us/ja/download からインストーラーをダウンロード

これらのアプリケーションのうち，Homebrew経由でインストールしたものに関して，以下にメモを残します．

まずは，Homebrewのインストールですが，公式サイトにあるように以下のターミナルからコマンドを実行します．

% /bin/bash -c "$(curl -fsSL https://raw.githubusercontent.com/Homebrew/install/HEAD/install.sh)"

この後に，以下のようにPathを通すと"brew"コマンドが使用できるようになります．以下の例はPathを通した後に，Homebrewのバージョンを確認した例です．

% echo 'eval "$(/opt/homebrew/bin/brew shellenv)"' >> /Users/(username)/.zprofile

% eval "$(/opt/homebrew/bin/brew shellenv)"

% brew -v

Homebrew 4.4.32

上記の1行目のコマンドの (username) にはアカウントのユーザー名が入ります．

gnuplot のインストール

% brew install gnuplot

Julia のインストール

ターミナルから以下のコマンドを実行します．

% brew install --cask julia

インストールが終了したら，パッケージモード（"]"キーを押す）に切り替えて，以下のパッケージをインストールしておきます．

(@v1.11) pkg> add IJulia

(@v1.11) pkg> add CSV

(@v1.11) pkg> add Combinatorics

(@v1.11) pkg> add DataFrames

(@v1.11) pkg> add Distributions

(@v1.11) pkg> add JuMP

(@v1.11) pkg> add Plots

(@v1.11) pkg> add PyCall

(@v1.11) pkg> add PyPlot

(@v1.11) pkg> add RDatasets

(@v1.11) pkg> add StatsBase

(@v1.11) pkg> add StatsPlots

(@v1.11) pkg> add SumOfSquares

(@v1.11) pkg> add Statistics

(@v1.11) pkg> add Gadfly

(@v1.11) pkg> add LinearAlgebra

(@v1.11) pkg> add Optim

インストールされているパッケージを確認するには"status"コマンドを使用します．

(@v1.11) pkg> status

Jupyter Notebookのインストール

j% brew install jupyter

インストールが完了したら，以下のコマンドでJupyter Notebookを立ち上げてみます．

% jupyter notebook

先述の「Juliaのインストール」のところで示した"IJulia"パッケージがインストールされているとJupyter Notebook の右上の"New"ボタンを押すと，以下のようにJuliaが選択できるようになっているはずです．

Octave のインストール

Command Line Toolsがインストールされているとは知りつつも，一応確認しておきます．

% sudo xcode-select --install

Password:

xcode-select: note: Command line tools are already installed. Use "Software Update" in System Settings or the softwareupdate command line interface to install updates

最新版をインストールしたばかりなのですが，一応確認しておきます．

% brew update

==> Updating Homebrew...

Already up-to-date.

これまた同様に，一応確認です．

% brew upgrade

続いて Octave のインストールを行います．

% brew install octave

ズラズラとインストールが始まり，終了したら，Ocrave を立ち上げてみます．

% octave --gui

今回のインストールでは，以前の投稿で生じたエラー（.config フォルダ内に octave フォルダが存在しないという内容）は出ませんでした．

R のインストール

今回は，インストーラーパッケージを使用してインストールしました．Homebrew経由でインストールするには，以下のコマンドを実行します．

% brew install --cask r

XQuartzのインストールは，以下のコマンドを実行します（いまだにXQuartzが必要なのかどうかはわかりませんが...）．

% brew install --cask xquartz                           

R Studio のインストールは，以下のコマンドを実行します．

% brew install --cask rstudio                           

TeX Shop のインストール

ターミナルから以下のコマンドを実行します．

% brew install --cask mactex

ちなみに，GUIが不要な場合は以下のコマンドを実行します．

% brew install --cask mactex mactex-no-gui

インストールが終了したら，GUIの要，不要に関わらず，パスを確認しておきます．以下のコマンドを実行して，/Library/TeX/texbin が含まれていることを確認します．

% echo $PATH

/Library/TeX/texbin

パスなので，色々と書かれていますが，/Library/TeX/texbin が書かれていれば，大丈夫です．

含まれていない場合は，以下のコマンドを実行してパスを追加します．

% echo 'export PATH="/Library/TeX/texbin:$PATH"' >> ~/.zshrcsource ~/.zshrc

MacにOctaveをインストール

MacBookAirにOctaveをインストールした際のメモです．最近はあまり使っていなかったので，インストールしなくても良いかなと思っていたのですが，なんだかんだで入れておくことにしました．

まずは，Command Line Tools をインストールします．以下のコマンドを実行すると，パスワードを聞いてくるので入力して Returnキーを押します．

% sudo xcode-select --install

Password:

すでにインストールされている場合は，以下のようなコメントが返ってきます．

xcode-select: note: Command line tools are already installed. Use "Software Update" in System Settings or the softwareupdate command line interface to install updates

続いて，Homebrew経由でインストールを行います．インストールの前に，まずはHomebrew自体のアップデートを行います．

% brew update

続いて，Homebrew自体のアップグレードを行います．

% brew upgrade

Homebrewのアップデートやアップグレードをたまにやっていないと，結構な時間がかかります...．

最後に Octave をインストールします．

% brew install octave

インストールが完了した後に，以下のコマンドを実行すると立ち上がるはず

% octave --gui

と思っていたのですが，エラーが出てしまいました．ただし，このエラーは別のMacでは発生せずにすんなり立ち上がったので，エラーが出る場合とそうでない場合があるようです．

エラー内容は，

    ユーザー名/.config/octave

が存在しないというものでした．最初にOctaveを立ち上げた時に.configフォルダの中にoctaveフォルダを作成するという以下のようなアナウンスが出ていたのですが，それがうまく実行されていないようです．

仕方がないので，.configフォルダ内にoctaveフォルダを作成してみます．

.configフォルダは隠しフォルダなので，Home（ユーザー名のフォルダ）を開いて，隠しフォルダやファイルが表示されるように

    [Command] + [Shift] + [.]

のショートカットを実行します．なお [.] はドットです．すると，隠しフォルダ，ファイルが表示されるので，.configフォルダを開いて，その中にoctaveというフォルダを作成します．そして，再度

% octave --gui

を実行したところ，Octace のGUI画面が立ち上がりました．

私の場合は，隠しフォルダやファイルを触ることはほぼないので，ユーザー名フォルダ（別に他のフォルダでも良い）を開いた状態で，再度

    [Command] + [Shift] + [.]

のショートカットキーを実行して，隠しファイルやフォルダが見えない設定に戻しました．

ショートカットキーではなく，ターミナルから隠しフォルダ，ファイルを見るようにするには，以下のコマンドを実行します．

% defaults write com.apple.finder AppleShowAllFiles TRUE

% killall Finder

macOS Sequoia にアップデートした際のメモ

 macOS を Sequoia にアップデートしたのでその際のメモです．

インストールしたのは以下のアプリ

AppCleaner 〜公式ページからインストーラーをダウンロードしてインストール〜
Pages
Numbers
Keynote
TeX 〜Homebrew経由でインストール〜
Visual Studio Code 〜公式ページからインストーラーをダウンロードしてインストール〜
Zoom 〜公式ページからインストーラーをダウンロードしてインストール〜
Teams 〜公式ページからインストーラーをダウンロードしてインストール〜
Homebrew 〜公式ページにあるコマンドを実行してインストール 以下に注意点 1.〜
gnuplot 〜Homebrew経由でインストール 以下に注意点 2.〜

Jupyter 〜Homebrew経由でインストール〜
Julia 〜Homebrew経由でインストール〜
RStudio 〜公式ページからインストーラーをダウンロードしてインストール〜
Evernote 〜公式ページからインストーラーをダウンロードしてインストール〜
Adobe Creative Cloud 〜公式ページからインストーラーをダウンロードしてインストール〜
iMovie
mi 〜公式ページからインストーラーをダウンロードしてインストール〜
PrimeVideo 〜App Storeからインストール〜
Discord 〜公式ページからインストーラーをダウンロードしてインストール〜
LINE 〜App Storeからインストール〜
Messenger 〜App Storeからインストール〜

昔はもっと色々とインストールしていましたが，もう，このくらいでいいや...という感じにしてみました．以下の「つまづいた箇所・変更した箇所」以外は，macOS Big Sur をインストールした際と同じ感じでいけました．

つまづいた箇所・変更した箇所
注意点 1. Homebrew
公式ページからインストールのコマンドをコピーして実行して，インストールが終了したのちに，以下のように"brew"コマンドを受け付けてくれないというトラブルが発生しました．

% brew --version

zsh: command not found: brew

そこで，パスを通すために，ターミナルから以下のコマンド

% (echo; echo 'eval "$(/opt/homebrew/bin/brew shellenv)"') >> /Users/user/.zprofile

を実行したら，brew コマンドを受け付けてくれるようになりました．なお，上記のコマンドの"user"にはログインしているユーザー名が入ります．brew コマンドを受け付けてくれるようになった様子は以下のような感じです．

% brew update

==> Updating Homebrew...

Already up-to-date.

% brew --version

Homebrew 4.4.20

Julia
公式ページには，以下のコマンドを実行するようにとあります．

% curl -fsSL https://install.julialang.org | sh

しかし，Homebrew経由で以下のコマンドを実行することでインストールしました．

% brew install --cask julia

以下のコマンド実行は必要ないかもしれないのですが，一応，実行しておきます．

% sudo xcodebuild -license accept

Password:

xcode-select: error: tool 'xcodebuild' requires Xcode, but active developer directory '/Library/Developer/CommandLineTools' is a command line tools instance

ターミナルから julia と実行すると，無事立ち上がりました．

% julia

               _

   _       _ _(_)_     |  Documentation: https://docs.julialang.org

  (_)     | (_) (_)    |

   _ _   _| |_  __ _   |  Type "?" for help, "]?" for Pkg help.

  | | | | | | |/ _` |  |

  | | |_| | | | (_| |  |  Version 1.11.3 (2025-01-21)

 _/ |\__'_|_|_|\__'_|  |  Official https://julialang.org/ release

|__/                   |

julia> 

続いてJupyter Notebook環境に接続していきます．以下のコマンドを実行します．

julia> using IJulia

julia> notebook()

初回は，y/n で聞いてきますが，y と答えればOKです．インストールが完了すると，Jupyter Noteboookが起動します．これ以降は，Juliaを立ち上げた後に上記の二つのコマンドを実行すればJupyter Notebookが立ち上がります．

gnuplotでリサージュ曲線を描く

 gnuplotでリサージュ曲線を描くには以下のようなコマンドを入力します．

gnuplot> set parametric

dummy variable is t for curves, u/v for surfaces

gnuplot> plot sin(2*t), sin(3*t)

すると，以下のような図が描かれます．

また，円の内のサイクロイド（原点を中心とする半径Rの円Cに内接する半径rの小円C'が滑らずに回転していくときの円C'の円周上の1点の描く軌跡は

と媒介変数表示されます．その中で，R=3, r=1の場合を図示するには，以下のようなコマンドを入力します．

gnuplot> R=3; r=1; S=1; RD=R-r; AS=1-R/r; plot RD*cos(t)+r*S*cos(AS*t), RD*sin(t)+r*S*sin(AS*t)

すると，以下のような図が描かれます．

色々と設定を変えて描画した結果は以下のようになります．

gnuplot> R=2; r=1; S=0.8; RD=R-r; AS=1-R/r; plot RD*cos(t)+r*S*cos(AS*t), RD*sin(t)+r*S*sin(AS*t)

gnuplot> R=4; r=1; S=0.8; RD=R-r; AS=1-R/r; plot RD*cos(t)+r*S*cos(AS*t), RD*sin(t)+r*S*sin(AS*t)

gnuplot> set trange[0:200]

gnuplot> set sample 1000

gnuplot> R=3; r=1.8; S=0.8; RD=R-r; AS=1-R/r; plot RD*cos(t)+r*S*cos(AS*t), RD*sin(t)+r*S*sin(AS*t)

gnuplot> R=3; r=1.7; S=0.8; RD=R-r; AS=1-R/r; plot RD*cos(t)+r*S*cos(AS*t), RD*sin(t)+r*S*sin(AS*t)

ChatGPT プロンプト例（数学）

数学を教えるためのプロンプト例

プロンプト：

数学の先生になってください．
数式や数学的な概念を提供するので，わかりやすく解説してください．
問題の解き方をひとつひとつ説明してもかまいませんし，様々なテクニック（解放）を視覚的に解説するのも良いですし，生徒がより深く勉強できるようにオンラインリソースを提供するのも良いでしょう．
最初のリクエストは「確率の仕組みを理解したい」です．

ChatGPTの応答：

確率の仕組みを理解することは、日常生活において非常に有益で、また数学を学ぶ上で基礎的なスキルです。確率は「何かが起こる可能性」を数値で表現する方法です。では、具体的にどのように考え、計算するのかを一つずつ見ていきましょう。

1. 確率の基本的な概念

確率は、ある出来事が起こる可能性を、0（起こらない）から1（必ず起こる）の間で表します。確率が0の出来事は絶対に起こらず、確率が1の出来事は必ず起こります。

例えば、サイコロを1回振ったときの確率を考えてみましょう。サイコロには6つの面があります（1から6の数字が書かれています）。サイコロを振ったときに「3」が出る確率はどうなりますか？

• サイコロの面は6つです。
• その中で「3」が出るのは1つだけです。

したがって、「3」が出る確率は、次のように計算できます：

$$$$P(3が出る)=3が出る場合の数全ての結果の数=16​

つまり、サイコロを振ったときに「3」が出る確率は $\frac{1}{6}$です。

2. 確率の計算方法

確率の計算方法を少し詳しく説明します。基本的な確率の計算方法には次の2つのパターンがあります。

1) 単純な事象の確率

ある出来事が起こる確率は、次の式で求められます：

$$P(\text{出来事}) = \frac{\text{出来事が起こる場合の数}}{\text{全ての結果の数}}$$

例えば、コインを1回投げて表が出る確率を求めたいとき：

• コインには表と裏の2つの面があります。
• 表が出る場合は1つだけです。

したがって、コインを投げて表が出る確率は：

$$P(\text{表が出る}) = \frac{1}{2}$$

2) 複数の事象の確率

複数の事象が起こる確率を計算する方法もあります。ここでは、「和の法則」と「積の法則」を使います。

• 和の法則（OR）: 2つの事象AとBがどちらか一方、または両方が起こる確率

  $$$$P(A または B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

  もし、AとBが排反的な事象（同時に起こらない）であれば、$\ P(A \cap B) = 0$ となり、次のようになります：

  $$$$P(A または B)=P(A)+P(B)

• 積の法則（AND）: 2つの事象AとBが同時に起こる確率

  $$$$P(A かつ B)=P(A)×P(B)

  もし、AとBが独立した事象（片方の結果が他方に影響を与えない）であれば、この式を使います。

3. 例題で練習

例1: サイコロを2回振ったとき、1回目で「3」が出て、2回目で「5」が出る確率は？

サイコロを振るとき、各回の結果は互いに独立しています。したがって、2回の確率は積の法則を使って計算できます。

• 1回目に「3」が出る確率：$\frac{1}{6}$
• 2回目に「5」が出る確率：$\frac{1}{6}$

したがって、2回の結果が「3」と「5」になる確率は：

$$$$P(1回目に3, 2回目に5)=16×16=136​

例2: コインを3回投げて、少なくとも1回は表が出る確率は？

ここでは、少なくとも1回表が出る確率を求めますが、まず逆のケース、「1回も表が出ない確率」を求め、その結果を1から引く方法で計算します。

コインを3回投げて、すべて裏が出る確率は：

$$$$P(すべて裏)=(12)3=18​

したがって、少なくとも1回表が出る確率は：

$$$$P(少なくとも1回表)=1−P(すべて裏)=1−18=78​

4. より深く理解するためのリソース

確率の概念は非常に広く、さまざまな応用があります。さらに深く学びたい場合は、以下のリソースを参考にしてみてください：

• Khan Academy（カーンアカデミー）: 確率に関する基本から応用までの講義動画が充実しています。無料で利用できます。

  • Khan Academy - Probability

• YouTube: 数学を視覚的に理解するために、YouTubeの動画も有効です。特に、「3Blue1Brown」のチャンネルは確率の概念を深く掘り下げたビジュアル解説があり、理解しやすいです。

確率は日常生活にも大いに関わり、楽しみながら学んでいける分野です。計算の基礎をしっかりと理解し、徐々に複雑な問題にも挑戦してみてください。

ChatGPT3.5を使っての，2025年1月14日時点での結果です．