[Julia] 平均の計算

Juliaで平均の計算を行ってみた際のメモです．実行例はREPLで行なった結果です．

まずは相加平均（算術平均）についてです．

$ \mu = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i $

1〜10までの整数の和の平均を求めてみます．
総和は`sum()`関数を用いて求めます．

julia> x1 = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0]

10-element Array{Float64,1}:

  1.0

  2.0

  3.0

  4.0

  5.0

  6.0

  7.0

  8.0

  9.0

 10.0

julia> n = length(x1)

10

julia> mu_a = sum(x1) / n

5.5

続いて幾何平均についてです．

$ ( \prod\limits_{i=1}^{n} x_i ) ^ \frac {1} {n} $

1〜10の幾何平均を求めてみます．
総乗は`prod()`関数を用いて求めます．

julia> x2 = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0]

5-element Array{Float64,1}:

 1.0

 2.0

 3.0

 4.0

 5.0

julia> n = length(x2)

5

julia> mu_g = prod(x2) ^ (1 / n)

2.605171084697352

Python3で確認のための計算を行なってみると以下のようになります．

>>> import scipy.stats.mstats as mstats

>>> mstats.gmean(x2)

2.6051710846973517

幾何平均（対数）- log-average -についてです．

$ \exp \left( \cfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln {x_i} \right)$

この平均は，元のデータの数値 $a_{i}$ を対数*に変換して相加（算術）平均を求め、指数関数*を適用して元の数値の幾何平均を得ます．
log-averageを対数平均（logarithmic mean ）と混同しないように注意が必要です．

julia> x3 = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0]

5-element Array{Float64,1}:

 1.0

 2.0

 3.0

 4.0

 5.0

julia> x4 = map(a -> log(a), x3)

5-element Array{Float64,1}:

 0.0               

 0.6931471805599453

 1.0986122886681098

 1.3862943611198906

 1.6094379124341003

julia> n = length(x3)

5

julia> mu_g_ln = exp((1 / n) * sum(x4))

2.605171084697352

Python3で確認のための計算を行なってみると，以下のようになります．

>>> import numpy as np

>>> from statistics import mean

>>> x3 = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0]

>>> np.exp(mean (np.log(x3)))
2.6051710846973517

なお，上記の例のJupyter Notebookファイルは，GitHubのMean.ipynbというファイルで見ることができます．

* `ln`は自然対数で，`e`を底とする対数です．`exp`は`e`を底とする指数関数です．`exp`は`log`と逆の意味になるので，`log(x)`を`exp`すると元の値に戻し，`exp(x)`を`log`しても元に戻ります．

julia> exp(log(pi))

3.141592653589793

julia> log(exp(pi))

3.141592653589793