[Python vs Julia] 順列・組合せ

以前に，順列・組合せに関する計算をPythonで行う投稿をしました．
今回は，それをJuliaで行ってみます．計算例はREPLで行なったものです．

順列
1, 2, 3の3つの数字の並べ方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです．
階乗を求めるには factorial() 関数を使用します．

julia> factorial(3)

6

順列

${}_n P _r = \cfrac{n!}{(n - r)!}$

を表示するには，以下のように permutations()  関数を使用します．

1, 2, 3, 4, 5 から3つを選ぶ並べ方は，${}_5 P _3=5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りとなります．
何通りあるかだけを知りたい場合には，以下のようにして求めます．

julia> binomial(5, 3) * factorial(3)

60

順列の並びを表示させるには，permutations() 関数を用いて，第一引数に対象とする配列，第二引数に選ぶ数を指定します．

julia> using Combinatorics

julia> seq = (1, 2, 3)
(1, 2, 3)

julia> collect(permutations(seq))
6-element Array{Array{Int64,1},1}:
 [1, 2, 3]
 [1, 3, 2]
 [2, 1, 3]
 [2, 3, 1]
 [3, 1, 2]
 [3, 2, 1]

順列，組合せを扱うには，Combinatorics パッケージ*を使用します．

なお，collect は，配列を展開して表示するためのコマンドです．

上記のように特に配列（seq）を定義しなくても実行可能です．

julia> collect(permutations([1, 2, 3]))
6-element Array{Array{Int64,1},1}:
 [1, 2, 3]
 [1, 3, 2]
 [2, 1, 3]
 [2, 3, 1]
 [3, 1, 2]
 [3, 2, 1]

julia> collect(permutations([1, 2, 3, 4, 5], 3))

60-element Array{Array{Int64,1},1}:

 [1, 2, 3]

 [1, 2, 4]

 [1, 2, 5]

 [1, 3, 2]

 [1, 3, 4]

 [1, 3, 5]

 [1, 4, 2]

 [1, 4, 3]

 [1, 4, 5]

 [1, 5, 2]

 [1, 5, 3]

 [1, 5, 4]

 [2, 1, 3]

 [2, 1, 4]

 [2, 1, 5]

 [2, 3, 1]

 [2, 3, 4]

 [2, 3, 5]

 [2, 4, 1]

 [2, 4, 3]

 [2, 4, 5]

 ⋮        

 [4, 2, 1]

 [4, 2, 3]

 [4, 2, 5]

 [4, 3, 1]

 [4, 3, 2]

 [4, 3, 5]

 [4, 5, 1]

 [4, 5, 2]

 [4, 5, 3]

 [5, 1, 2]

 [5, 1, 3]

 [5, 1, 4]

 [5, 2, 1]

 [5, 2, 3]

 [5, 2, 4]

 [5, 3, 1]

 [5, 3, 2]

 [5, 3, 4]

 [5, 4, 1]

 [5, 4, 2]

 [5, 4, 3]

組合せ
1, 2, 3, 4, 5 から３つを選ぶ組合せは，${}_5 C _3= \frac{{}_5 P_3}{3!} = 10$ 通りとなります．
何通りあるかを知りたい場合には以下のようにします．

julia> binomial(5, 3)

10

組合せ

${}_n C _r= \cfrac{{}_n P_r}{r!} = \cfrac{n!}{r! (n - r)!}$

を表示するには，以下のように combinations() 関数を用いて，第一引数に対象とする配列，第二引数に選ぶ数を指定します．

julia> seq2 = (1, 2, 3, 4, 5)

(1, 2, 3, 4, 5)

julia> collect(combinations(seq2, 3))

10-element Array{Array{Int64,1},1}:

 [1, 2, 3]

 [1, 2, 4]

 [1, 2, 5]

 [1, 3, 4]

 [1, 3, 5]

 [1, 4, 5]

 [2, 3, 4]

 [2, 3, 5]

 [2, 4, 5]

 [3, 4, 5]

順列の例と同様に，配列を事前に定義せずに，第一引数に記載しても同様な結果が得られます．

なお，上記の例のJupyter Notebookファイルは，GitHubのDiscreteProbabilityCombinationというファイルで見ることができます．

* Combinatorics パッケージを追加する際には，パッケージモードで " add Combinatorics "と入力します．すると以下のようにインストールが行われます．

(v1.1) pkg> add Combinatorics

 Resolving package versions...

 Installed Combinatorics ─ v0.7.0

 Installed Polynomials ─── v0.5.2

  Updating `~/.julia/environments/v1.1/Project.toml`

  [861a8166] + Combinatorics v0.7.0

  Updating `~/.julia/environments/v1.1/Manifest.toml`

  [861a8166] + Combinatorics v0.7.0

  [f27b6e38] + Polynomials v0.5.2